BRAINWAVE HAN KAMERMANS

 

                "Wo sich der Horizont erweitert - das muss Rijnwaarden sein"

                                                                                                 Han Kamermans 2010

                     "Waar de horizon zich verruimt - dat moet Rijnwaarden zijn"

 

              BRAINWAVE  HAN  KAMERMANS

                                                   ERWEITERUNG DES HORIZONTS   

                                                    VERRUIMING VAN DE HORIZON

                      JASPER  JOHNS  (1930 - )          ZAHLENBILD  0 - 9  (1960)

 

   ZAHLEN-REIHE JASPER JOHNS  (mit 10 ZAHLEN)   

    0  1  2  3  4      10        Zahl 2 in der Mitte

    5  6  7  8  9      35       Zahl 7 in der Mitte

       

  ZAHLEN - REIHE  BRAINWAVE (mit 9 ZAHLEN)

  1   2   3   4     5    6   7   8   9              Summe = 45      Zahl 5 in der Mitte

                     10                  5                   30

                                15

 

  BACCARA (GLÜCKSSPIEL) AUF BASIS ZAHL 9

 

Baccara wird mit sechs Paketen französischer Spielkarten à 52 Blatt, also 312 Blatt, gespielt. Baccara-  Karten tragen keine Index-Zeichen und besitzen gleichmäßig einfarbige Rückseiten ohne Muster. Es werden drei Pakete mit hellrosa und drei Pakete mit hellblauen Rücken verwendet.

Ziel des Spiels ist es, mit zwei oder drei Karten neun Punkte zu erzielen, oder zumindest näher an neun Punkte heranzukommen als der Gegner.

Die Zählwerte der Karten sind:

 -  Ass ein Punkt (1 = 1 resp. 11 = 1)

  - Zweier bis Neuner zählen zwei bis neun Punkte.: 2   3   4   5   6   7   8   9

  - Zehner und Bilder jedoch null Punkte.

Ergeben die Karten in Summe zehn oder mehr Punkte, so zählt nur die Einerstelle; d. h. hat ein Spieler eine Sieben und eine Fünf, so zählt dies (7 + 5 = 12) zwei Punkte.

10 = 0  (auf der gleichen Grundlage wie 11 = 1, jedoch gilt normal 1 + 0 = 10)

Hat ein Spieler eine Sechs und eine Vier, so zählt dies (6 + 4 = 10) null Punkte oder eben „Baccara“.

Das Spiel soll häufigen Behauptungen zufolge in Neapell im 16. Jahrhundert erfunden worden sein und der Name seinen Ursprung in einem neapolitanischen Dialekt haben, in dem Baccara "Null" bedeutet.

Bacca wird in zwei Hauptvarianten in den Kasino angeboten: Baccara chemin de fer und Baccara banque, von diesen beiden Spielweisen existieren noch weitere Variationen. Der leitende Croupier wird beim Baccara Chef de partie oder Tailleur genannt, ihm steht der Changeur, der Jetons wechselt, zur Seite.

 

   JOHNS - SIXDOMINO - NINE 

  ZAHLENSUMME IN ALLEN REIHEN  =  9

 

                                                                                                             9

                                   2     1      4     2       9

                                   0     3      4     2       9

                                   6     2      0     1       9

                                   1     3      1     4       9

                                                                                                                  9

                                                                                               9           9           9           9

 

  GAMBLE - CUBE

  KUBUS MIT 6 FLÄCHEN (ZAHLEN 1 -6) UND 12 SEITEN

  SUMME DER EINANDER GEGENÜBERLIEGENDEN FLÄCHEN IST IMMER 7

  1  opposite to/ +   6  =  7

   2  opposite to/ +   5  =   7 

   3  opposite to/ +   4  =   7

   4  opposite  to /+   3  =   7

    5  opposite  to /+   2  =   7

    6  opposite  to 7+   1  =   7

 

   GAMBLE - JOHNSON - CUBE

  JOHNSON-KÖRPER = PSEUDO-RHOMBENKUBOKTAEDER (siehe alte TM-Website)           

    DIE INSGESAMT 48 SEITEN DER 18 QUADRATE UND 8 DREEICKE SIND WIE BEIM KUBUS GLEICH LANG                                        

   18 QUADRATE ( = 2 x 9 BRAINWAVE-ZAHLEN)  + 8 DREIECKE ( = 4 x 2 FARBEN) 

   SUMME DER EINANDER GEGENÜBERLIEGENDEN 2 x 9 FLÄCHEN IST IMMER 10

   1 opposite to/ +  9  =  10  (2x)

   2 opposite to/ +  8  =  10  (2x)

   3 opposite to/ +  7  =  10  (2x)

    usw.

    Die 10 JOHNS-Zahlen 0-9 korrespondieren hier mit den 9 BRAINWAVE-Zahlen 1-9

   

  RUBIK - CUBES                                     

                              15                                                                                24

  1     2     3      6                                         1     5     9    15

  4     5     6     15                                       6     7     2    15

  7     8     9     24                                        8     3     4    15

  12      15       18      15                                         15          15          15        12

    4 x Reihe mit Summe 15     Zahl 5 im Zentrum                     6 x Reihe mit Summe 15     Zahl 7 im Zentrum

    Kästchen mit Zahlen 1 - 9 und Summe 45                             Kästchen mit Zahlen 1 - 9 und Summe 45    

                                 

               

                                                               RUBIK-SUDOKU-CUBE  

                                                                     

  SUDOKU - 45 - HIGHLIGHTS  

  sämtliche Vertikal- und Horizontalreihen mit der Summe 45, wobei: 

   - in jeder Reihe von 9 Zahlen die Zahlen 1 - 9 nur 1 x verwendet werden

   - in jedem Kästchen von 9 Zahlen die Zahlen 1 - 9 nur 1 x verwendet werden   

  d.h.:  18 x 1 Reihe mit Summe 45

             9 x 1 Kästchen mit Summe 45

   dazu:

   1 x  Diagonalreihe mit Summe 43 (2 x Zahl 5, 2x Zahl 3 und ohne Zahl 8)

   1 x  Diagonalreihe mit Summe 46 (2 x Zahl 7, 2x Zahl 8 aber ohne Zahl 5)           

                                                            43

  6    5    8      9    7    3      1    2    4         45

  9    7    2      1    8    4      6    5    3         45

  1    4    3      5    6    2      9    8    7         45

 

  3    2    7      8    9    5      4    1    6         45

  8    9    5      4    1    6      3    7    2         45

  4    6    1      3    2    7      8    9    5         45

 

  5    8    6      7    4    1      2    3    9         45

  2    3    9      6    5    8      7    4    1         45

  7    1    4      2    3    9      5    6    8         45

                                                                                  46

  45     45     45        45    45     45        45     45    45

   Zahl 1 im Zentrum

 

    Weitere Sudoku-45-Highlights sind beispielsweise:

   5 9 8   7 6 3   1 2 4

   1 7 4   2 9 8   6 5 3

   3 6 2   5 1 4   9 8 7

  

   6 5 7   4 8 9   3 1 2

   2 8 9   1 3 5   4 7 6

   4 1 3   6 2 7   8 9 5

  

   7 4 6   9 5 1   2 3 8

   8 2 1   3 7 6   5 4 9

   9 3 5   8 4 2   7 6 1

   Zahl 3 im Zentrum

    Diagonalreihen 35 und 53

 

   oder

   8 4 1   6 5 2   3 9 7

   2 3 7   9 8 4   5 6 1

   9 6 5   7 1 3   4 8 2

   

   3 8 2   4 7 9   6 1 5

   6 7 9   1 3 5   8 2 4

   5 1 4   2 6 8   9 7 3

  

   4 9 3   8 2 7   1 5 6

   1 2 8   5 4 6   7 3 9

   7 5 6   3 9 1   2 4 8

   Zahl 3 im Zentrum

    Diagonalreihen 43 und 43

 

   oder

   6 9 5   2 7 3   8 1 4

   3 2 4   1 8 9   6 7 5

   1 7 8   6 4 5   2 9 3

  

   2 8 9   3 1 4   7 5 6

   4 5 3   7 9 6   1 2 8

   7 6 1   5 2 8   4 3 9

   

   9 3 2   4 6 1   5 8 7

   5 4 7   8 3 2   9 6 1

   8 1 6   9 5 7   3 4 2

   Zahl 9 im Zentrum

    Diagonalreihen 45 und 49

 

    K-DOKU 1  2  3  4                     

                                                                                                   12

    4     2     1     3            2     4     3     1             10

    3     1     4     2            1     3     4     2             10

    2     4     3     1            3     2     1     4             10

    1     3     2     4            4     1     2     3             10

                                                                                                    12

     10       10       10       10                 10       10       10       10        

 

    Zahlen 1, 2, 3, 4 in jeder Reihe nur 1 x = Summe 10

     

    K-DOKU 1  2  3  4  5  6

                                   23

     3     4     2     6     1     5              21

     4     5     1     3     2     6             21

     2     3     6     1     5     4             21

     6     2     4     5     3     1             21

     1     6     5     2     4     3             21

     5     1     3     4     6     2             21

                                                            25

     21       21      21     21     21      21

 

     Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 ,6 in jeder Reihe nur 1 x = Summe 21

 

  http://thebrainstore.tradoria-shop.de/home/39011e8a9134f786a048fbffd84ee527/uploads/zahlen_und_rechnen.jpg

 1    2    3    4    5    6    7    8    9

  ZAHLEN  POTENZEN  SUMMEN

  Summe aller 9 Zahlen in der 0. Potenz (9 hoch o = 1)    =      9    =        3 x 3 = 3²

  Multiplikationsfaktor von 9 nach 45 = 5                                                  

  Summe aller 9 Zahlen in der 1. Potenz             =           45    =         3 x 3 x 5

                                                                                                  =            7² - 2²

  1   +  2  +  3   +  4  +   5   +   6  +  7   +  8  +  9                           =                  45

            10                    5                  30

               

  Multiplikationsfaktor von 45 nach 285 = 19 : 3

  Summe aller 9 Zahlen in der 2. Potenz             =         285      =    3 x 19 X 5

                                                                                                  =    17² - 2²

  1²   +    2²    +    3²   +   4²   +   5²  +   6²  +   7²   +    8²   +   9²   =    285 

                   30                         25             85                  145

                   30                         25                        230

Aus der Summe der Zahlen 1 -9 in der 1. Potenz (jeweils ab der Zahl 1) lassen sich auch für die 2. und die 4 Potenz interessante Summen ablesen:

1    2     3     6    10    15    21    28    36    45

  1      2       3      4        5       6        7       8        9

Für die Summen der Zahlen 1-9 in der 2.Potenz gilt dann beispielsweise:

3/3 x 3      =    1

5/3 x 3      =    5

7/3 x 5      =   14

9/3 x 10    =   30

11/3 x 15  =   55

13/3 x 21  =   91

15/3 x 28  =  140

17/3 x 36  =  204

19/3 x 45  =  285     

Und für die Summen der Zahlen in der 4. Potenz gilt in Kombination mit den Summen der Zahlen in der 2. Potenz eine ähnliche interessante Konstellation:

 2. Potenz     

 1         5           14         30         55         91         140        204          285

              4                9             16             25            36              49             64                81

 1²       2²          3²          4²          5²         6²           7²          8²            9²         

 

   Umwandlung der 4. Potenz in die 2. Potenz:

   1 hoch 4 =    1²         =       1

   2 hoch 4 =    4²         =      16

   3 hoch 4 =    9²         =      81

   4 hoch 4 =   16²        =     256

   5 hoch 4 =   25²        =     625

   6 hoch 4 =   36²        =   1296

   7 hoch 4 =   49²        =   2401

   8 hoch 4 =   64²        =   4096

   9 hoch 4 =   81 ²       =   6561                        

   Summe der Zahlen in der 4. Potenz (ab der Zahl 1) für die obige Reihe:

  1       17        98        354        979      2275      4676       8772       15333 

   Summe der Zahlen in der 2. Potenz (ab der Zahl 1):

   1        5        14         30         55         91          140        204           285

   Daraus ergeben sich die folgenden Verhältniszahlen: 

   1        3,4          7            11,8         17.8         25             33,4             43             53.8

   5/5    17/5       35/5         59/5          89/5     125/5        167/5           215/5         319/5

    bzw. die Steigerung dieser 5er-Reihe der 4. Potenz erfolgt jeweils mit 6: 

         12         18          24             30             36              42             48               54

Erinnern wir uns daran, dass die Steigerung der 3er-Reihe der 2. Potenz mit jeweils 2 erfolgt:      3/3, 5/3, 7/3  usw. (siehe obenstehende Angaben)

 

 

  Summe aller 9 Zahlen in der 3. Potenz             =       2025    =   45 x 45 = 45²

  1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + [³ + 9³ = 2025 =        45²

  1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³  =  225  =  15²       1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

  Multiplikationsfaktor von 285 nach 2025 = 15 x 9 : 19 

                                                     

  Summe aller 9 Zahlen in der 4. Potenz             =     15333    =   3 x 19 x 269 

  45 - 2² = 41    41 x 3 = 123    3 x 7 = 21     21 - 2² = 17                                          =       123² + 204

                                                               1² + 2² + 3² + 4² + 5² +6² + 7² + 8² = 204

  269 = 10² + 13²

  269 = 285 minus 16 = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² +6² + 7² + 8² + 9² minus  4² = 1² + 2² + 3² + 5² +6² + 7² + 8² + 9²

  Multiplikationsfaktor von 285 nach 15333 = 269 : 5   

  

1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

 ZAHLEN  POTENZEN  SUMMEN

  Summe aller 19 Zahlen in der 0. Potenz      =              19  =      9 + 10     

                                                  

  Summe aller 19 Zahlen in der 1. Potenz      =          190  =     10 x 19

  Multiplikationsfaktor von 190  nach  2470    =   13   

                                                                                                    

  Summe aller 19 Zahlen in der 2. Potenz      =       2470    =     10 x 13 x 19   

  10³    + 11³  +   12³  +    13³  + 14³    +  15³    +  16³   +   17³    +  18³    +   19³  =

  100      121       144      169      196       225       256        289        324         361

                     265                  365                                545                        685

                                630                                                             1230

                                                                                 1860

   100                                                       225           1860

                               2185                                       

 

 

  N.B.: Summe der Zahlen 1 - 9 in der 2. Potenz         =        285   =     

 

   N.B.: Summe der Zahlen 10 - 19 in der 2. Potenz      =     2185   =  

                                                                            2470                    

  Multiplikationsfaktor von 190  nach  2470    =   13   

                                                                                                    

                          

  Summe aller 19 Zahlen in der 3. Potenz      =     36100  =     190 x 190 = 190²

  1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +6³ + 7³ + [³ + 9³ + 10³ + 11³ + 12³ + 13³ + 14³ + 15³ + 16³ + 17³ + 18³ + 19³ = 36100   

  36100 = 190²       (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 +11+12 +13 +14 +15 +16 +17 +18 +19 = 190)

   Multiplikationsfaktor von 190  nach  36100    =   190

                                                  

  Summe aller 19 Zahlen in der 4. Potenz      =   539941  =   538756 + 1185 =    

  734² (538756) + 1185 = 734² + 900 + 285 =                                                            

  734² + 30² + 285 = 734² + 30² + 1² + 2² + 3² + 4² + 5² +6² + 7² + 8² + 9²

  285 = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² +6² + 7² + 8² + 9²       

 

VERGLEICH   POTENZEN   ZAHLENSUMMEN 

1  2  3  4                  5                    6  7  8  9

      1. Potenz             2. Potenz             3. Potenz            4. Potenz

1

2

3          10                           30                      100                     354

4

 

5            5                           25                      125                     625

 

6

7          30                          230                    1800                  14354

8

                                                        

               45                         285                     2025                 15333

In der 4. Potenz is interessant festzustellen, dass die Summe der Zahlen 1-4  354 ergibt und die Summe der Zahlen 6-7 14354, d. h. 14000 + 354

 

ZAHLEN  POTENZEN  DIVERSE

3² + 4² = 5²

a² + b² = c²

(a + b)² = a² + b² + 2ab

SATZ VON PYTHAGORAS

PYTHAGORAS THEOREM

bezüglich einer Reihe der 2. Potenz und eines Dreiecks mit rechtem Winkel. 

 

           Baum des Pythagoras

 

Bezüglich einer Reihe der 3. Potenz und eines Vierecks mit zwei rechten Winkeln ergibt sich das

sogenannte

QUATTRO VON KAMERMANS

3³ + 4³ + 5³ = 6³ 

 

a³ + b³ + c³ = d³

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3a²c + 3b²a + 3b²c + 3c²a + 3c²b

= a³ + b³ + c³ + 3a2 (b + c) + 3b² (a + c) + 3c² (a + b)

 

mit der dazugehörigen bildlichen Darstellung als sogenanntes  

TRAPEZ VON KAMERMANS

d.h. ein Viereck mit den Seiten 3, 4, 5 und 6

bestehend aus 3 Pythagoras-Dreiecken mit den jeweiligen Seiten 3, 4 und 5

In Analogie mit den jeweiligen Quadraten an den 3 Seiten des Pythagoras-Dreiecks, kann das Kamermans-Quattro an den 4 Seiten jeweils mit einem Kubus bildlich dargestellt werden. Es besteht jedoch auch die Möglichkeit beim Kamermans-Quattro die Seite 3 mit 3 Quadraten, die Seite 4 mit 4 Quadraten, die Seite 5 mit 5 Quadraten und die Seite 6 mi6 6 Quadraten bildlich darzustellen. 

 

Es gibt zwischen den Zahlen der 2. und 3. Potenz übrigens sehr interessante

Zusammenhänge:

Reihe 1 - 9   usw.                     1        2         3         4         5         6         7         8         9   usw.

Summe Zahlen 1- 9 (ab 1)    1      3        6        10       15       21       28       36       45

 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + [³ + 9³ =  45²

 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 10²  usw.

 

=     1  =   - 0²                      (1  -  0 )  x     (1 + 0)

=     8 =   - 1²                      (3  -  1)   x     (3 + 1)

=   27 =    - 3²                      (6  -  3)   x     (6 + 3)

=   64 = 10² - 6²                    (10 -  6)   x   (10 + 6)

 = 125 = 15² - 10²                 (15 - 10)  x  (15 + 10)

sowie        

5³ = 10²  +  5²

  = 216 = 21² - 15²                (21 - 15)  x  (21 + 15)

= 343 = 28² - 21²                (28 - 21)  x  (28 + 21)

= 512 = 36² - 28²                (36 - 28)  x  (36 + 29)

= 729 = 45² - 36²                (45 - 36)  x  (45 + 36)

usw.

 

und bezüglich der 4. Potenz gibt es u.a. die Reihe:

7² x 7² + 8² x 8² + 1 x 8² = 9² x 9² 

7 hoch 4        +     8 hoch 4       +    8 hoch 2    =    9 hoch 4

oder auch:

49 x 7² + 65 x 8² = 81 x 9²

Dies allerdings nicht als Pythagoras-Dreieck sondern als Dreieck mit den Seiten 7 und 8 und 9

Seite 7 mit 49 Quadraten        Seite 8 mit 65 Quadraten     Seite 9 mit 81 Quadraten

Siehe auch QUATTRO VON KAMERMANS

 

Ebenso gibt es vielerlei Reihen mit gemischten Potenzen wie beispielsweise

3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 3² = 6² x 6²

3 hoch 3 + 4 hoch 3 + 5 hoch 3 + 6 hoch 3 + 7 hoch 3 + 8 hoch 3 + 3 hoch 2 = 6 hoch 4

oder auch

3² x 3² + 4² x 4² + 5² x 5² + 6² x 6² + 12² - 1³ = 7² x 7²

3 hoch 4     +    4 hoch 4   +    5 hoch 4   +    6 hoch 4    +  12 hoch 2  -   1 hoch 3  =   7 hoch 4

 

ZAHLEN  POTENZEN  REIHEN

Weiter gilt als genereller Regel bezüglich der Kombination der 2. und 3. Potenzen für die aufsteigende Zahlenreihe 1 bis unendlich: 

1³ + 2³ + 3³ = 36 = 6²                                                 1 + 2 + 3 = 6

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 225 = 15²                               1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1³ + 2³ + 3³ + 4³ +5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ = 2025 = 45²  1 + 2 + 3 + 4 + 5  + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

 usw.

                                          

Oder wie Einstein bereits sagte:

"alles ist relativ":

 

Gast: "Herr Ober! Das Brötchen ist von gestern, ich möchte aber eines von heute!"

Ober: "Dan kommen Sie morgen wieder!"

 

 

                                                         

                                                        

                                                          GENIALE

         DYMAXION - WELTKARTE - IDEE  MIT IKOSAEDER

                                         NACH BUCKMINSTER FULLER 

                                   Abdruck Dymaxion-Weltkarte im "Life"-Magzin 1943

                                              

                            

                          DYMAXION-WELTKARTE-PRINZIP

 
Dymaxion-Weltkarte-Prinzip
 

Die Dymaxion-Weltkarte ist die nahezu verzerrungsfreie Projektion einer Weltkarte

auf einen Polyeder, der auf unterschiedliche Weise zu einer zweidimensionalen Karte aufgefaltet werden kann. Fuller arbeitete seit 1927 an diesem Projekt, das er zunächst The One-Town World [2] nannte, ließ sich sein Projektionsverfahren im Jahr 1946 patentieren und veröffentlichte es im Jahr 1954 unter dem Titel The Airocean World Map (englisch für Luftozean-Weltkarte), wobei er einen leicht abgewandelten Ikosaeder (mit 6 Quadraten und 8 Dreiecken) als Basis der Projektion benutzte.

Anders als andere Projektionsverfahren ist die Dymaxion-Weltkarte nur für Darstellungen der ganzen Erdkugel gedacht. Fuller beanspruchte mehrere Vorteile seiner Weltkarte:

 

 

                              

                             DIE KARTE IM KOPF

aus Zeitschrift "fluter" (Magazin der Bundeszentrale für politische Bildung, 2002)

Landkarten prägen das Bild, das wir uns von der Welt machen. Ob im Atlas, in der Schule oder in der Tagesschau. Auf der Weltkarte, die wir Europäer kennen, liegt Europa in der Mitte, links Amerika, rechts Russland und Asien, unten Afrika. Je nachdem, wo wir aufwachsen und wo diese Karten produziert werden, verändert         sich der Mittelpunkt. Doch die Sicht auf die Welt ist nicht nur von unserem Standpunkt bestimmt, sondern vor allem auch verzerrt.

Die gängigste Darstellung der Weltkugel auf einer 2-dimensionalen Fläche ist die Mercator-Projektion, benannt nach Gerhard Mercator, der sie 1568 erfand. Das          Prinzip dieser Projektion muss man sich so vorstellen: Man nimmt ein Blatt Papier,          das man entlang des Äquators um den Globus rollt, so dass ein Zylinder entsteht. Die obere und die untere Halbkugel werden nun auf die Flächen projiziert. Dabei nehmen nach oben und nach unten die Verzerrungen immer mehr zu. Grönland zum Beispiel ist sechs Mal vergrößert, und an den Polen franst die Welt aus.

Der Architekt und Designer Richard Buckminster Fuller erkannte in den 30er-Jahren   die Kluft, die sich zwischen dem Weltbild, das durch die Mercator-Projektion geprägt war, und der politischen Realität aufgetan hatte. Er wollte diese mentale Karte in den Köpfen der Menschen korrigieren und eine Karte für politische Geografie entwickeln. Seine Lösung: der Dymaxion-Globus. Natürlich bedeutet jede Projektion einer Kugel  auf eine Fläche eine Verzerrung, doch in Fullers Weltkarte sind die Verzerrungen proportional und an keiner Stelle extrem. Seine Dymaxion-Karte besteht aus 14 Segmenten - sechs Quadraten und acht Dreiecken - deren Kanten einen gleich bleibenden Maßstab haben, die Verzerrung in jedem Segment nimmt zur Mitte hin zu.

Diese Karte hat den Vorteil, dass die 14 Segmente in unterschiedlichen Konstellationen zusammengefügt werden können und so geopolitische Weltinterpretationen veranschaulichen. In dem Katalog zur Wanderausstellung über Buckminster Fuller sind vier exemplarische Kartenkonstellationen der Dymaxion-Welt abgebildet: Die Mercator-Welt, das British Empire, Hitlers Herzland-Konzept und das Japanische Reich. Sie verdeutlichen, dass politische Strategien und Ambitionen geografische Zusammenhänge zur Folge haben.

Ein weiterer Vorteil der Karte: Sie lässt sich wieder zu einem 3-dimensionalen Körper zusammenfügen. Wie das aussieht? - Puzzeln, ausdrucken und basteln!
 
Das Buckymap-Puzzle wurde von Susanne Schuricht im Rahmen der Wanderausstellung "Your Private Sky" entwickelt. Der Katalog zur Ausstellung stellt die Arbeiten von Richard Buckminster Fuller auf über 500 Seiten mit zahlreichen Abbildungen und zeitgenössischen Dokumenten umfassend dar. Zu Fullers Weltkarte gibt es darin unter anderem zwei Abdrucke aus dem "Life"-Magazin von 1943.

Quelle:
"Your Private Sky"-Katalog zur Wanderausstellung über R. Buckminster Fuller von Joachim Krause und Claude Lichtenstein (Hg.)
                                              
   
                                    IKOSAEDER

aus Wikipedia

 
regelmäßiges Ikosaeder
120px-Icosahedron-slowturn.gif
Art der Seitenflächen gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Flächen 20
Anzahl der Ecken 12
Anzahl der Kanten 30
Schläfli-Symbol {3,5}
dual zu Pentagondodekaeder
Netz Icosahedron flat.svg
Anzahl verschiedener Netze 43380
Anzahl Kanten in einer Ecke 5
Anzahl Ecken einer Fläche 3

Das Ikosaeder (nach griech. εἰκοσάεδρον eikosáedron = Zwanzigflächner  oder Zwanzigflach) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer: ein Polyeder mit

 

siehe auch nachstehendes YouTube-Video ZAHLEN-MYTHOS DER ANTIKE

 

                                        PLATONISCHE KÖRPER

Für die Griechen hatten die 5 regelmäßigen Körper (Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Ikosaeder, Dodekaeder) eine mystische Bedeutung. Plato hatte diese 5 regelmäßigen Körper welche Euklid im 13. Buch seiner "Elemente" untersucht hatte, jenen irdischen Elementen zugeordnet, welche die Materie der Welt ausmachen. Das Feuer sollte dem Tetraeder, die Erde dem Würfel, die Luft dem Oktaeder,         das Wasser dem Ikosaeder und die Himmelsmaterie (der Äther) dem Dodekaeder zugeordnet sein. Deswegen nennt man heute diese 5 regelmäßigen Körper platonische Körper. Kepler folgte Platons    Spur und glaubte, in den platonischen Körpern den Schlüssel zum Planetensystem, dem "Mysterium Cosmographicum" (1596) zu finden. In Bottrop steht auf einem 90 m hohen Steinberg eine 60 m hohe Tetraaeder-Stahlkonstruktion als Aussichtsturm.

 

 

 

ARCHIMEDISCHE KÖRPER

Die archimedischen Körper sind eine Klasse von sehr regelmäßigen geometrischen Körpern, die  den platonischen Körpern ähneln. Je nach Zählweise gibt es 13 oder 15 archimedische Körper. Sie  zeichnen sich dadurch aus, dass die Ecken eines solchen Körpers nicht voneinander unterschieden werden können. Siesind nach dem griechischen Mathematiker Archimedes benannt, der alle diese Körper   bereits im dritten Jahrhundert vor Christus entdeckt hatte. Die Schrift des Archimedes ist   nicht erhalten, es ist nur eine Zusammenfassung des alexandrinischen Mathematikers Pappos          (4.Jahrhundert nach Christus) überliefert. Nr 12 ist das                                                                       Rhombenkuboktaeder. 

      

                                                                                                                  

 

                                                                                                                                                         

                      RHOMBENKUBOKTAEDER                           

                                                           
 
3D-Ansicht eines Rhombenkuboktaeders (Animation)
 
Älteste bekannte Darstellung eines Rhombenkuboktaeders aus Leonardo da Vincis Divina Proportione
 
Straßenbeleuchtung vor dem Mainzer Dom

Das (kleine) Rhombenkuboktaeder ist ein Polyeder (Vielflächner), das zu den archimedischen Körpern zählt. Es setzt sich aus 8 gleichseitigen Dreiecken und 18 Quadraten zusammen. Dabei bilden jeweils drei Quadrate und ein Dreieck eine Raumecke.

Jeweils 8 Kanten des Rhombenkuboktaeders bilden die Kanten eines regelmäßigen Achtecks. Insgesamt gibt es sechs solcher unabhängiger, gleichseitiger Achtecke in diesem Polyeder.

Der Name des Rhombenkuboktaeders beruht u. a. auf der Tatsache, dass 12 der 18 Quadrate deckungsgleich zu den 12 Rhomben eines umbeschriebenen Rhombendodekaeders sind. Der zum Rhombenkuboktaeder duale Körper ist das Deltoidalikositetraeder.

 

Größen eines Rhombenkuboktaeders mit Kantenlänge a
Volumen V = \frac{2}{3}\,a^3 \left(6 + 5\sqrt{2} \right)
Oberflächeninhalt O = 2\,a^2 \left(9+\sqrt{3} \right)
Umkugelradius R = \frac{a}{2} \sqrt{5+ 2\sqrt{2}}
Kantenkugelradius r = \frac{a}{2} \sqrt{4+ 2\sqrt{2}}
Flächenwinkel
 = 135° (Quadrat–Quadrat
)
 \cos \, \alpha_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}
Flächenwinkel
 ≈ 144,74° (Quadrat–Trigon)
 \cos \, \alpha_2 = -\sqrt{\frac{2}{3}}
3D-Kantenwinkel
 = 135°
 \cos \, \gamma = -\frac{1}{\sqrt{2}}

 

 

                                    PSEUDO-RHOMBENKUBOKTAEDER

                                             "HOBBY"-KÖRPER VON HAN KAMERMANS  

                           AUCH ALS NR. 14 DER ARCHIMEDISCHEN KÖRPER KLASSIFIZIERT            

 
 
Pseudo-Rhombenkuboktaeder

Lange Zeit benutzte man für die Definition der archimedischen Körper nicht die globale, sondern  die anschaulichere lokale Uniformität der Ecken. Erst im Jahr 1930 stellte der britische Mathematiker J. C. P. Miller fest, dass ein konvexes Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen existiert, welches    die lokale Uniformität der Ecken erfüllt, aber bisher nicht als archimedischer Körper erkannt worden  war. Dieses Polyeder entsteht, wenn man beim Rhombenkuboktaeder eine Kappe um 45 Grad verdreht.   Es wird als Pseudo-Rhombenkuboktaeder, als Miller's solid oder als Johnson-Körper bezeichnet.

In jeder Ecke dieses Körpers stoßen wie beim Rhombenkuboktaeder drei Quadrate und ein Dreieck zusammen, die lokale Uniformität der Ecken ist also gegeben. Im Gegensatz zu den klassischen archimedischen Körpern können trotzdem zwei verschiedene Typen von Ecken unterschieden werden. Dazu ist es aber notwendig, nicht nur die direkten Nachbarflächen der Ecke zu betrachten, sondern zur Unterscheidung auch die weiter entfernten Nachbarflächen der Ecke mit einzubeziehen.

Gelegentlich klassifiziert man das Pseudo-Rhombenkuboktaeder als 14. archimedischen Körper. In      der Regel herrscht aber die Meinung vor, dass es aufgrund der unterschiedlichen Typen von Ecken nicht als archimedischer Körper angesehen werden sollte. Die Forderung der starken Uniformität    der Ecken sorgt dann dafür, dass das Pseudo-Rhombenkuboktaeder aus der Definition ausgeschlossen wird.

 

                             PSEUDO-RHOMBENKUBOKTAEDER-RUBIK-TWISTER

                                    siehe "Navigation"-Rubrik KAMERMANS-WEBSHOP

                                              zie "Navigation"-rubriek KAMERMANS-WEBSHOP

 

 

                                  PSEUDO:RHOMBENKUBOKTAEDER-WÜRFEL                                                              hier ohne Zahlen und ohne Joker-Zeichen gezeigt
 
                                                          4 x 2  +  1 x 2  +  1 x 8  +  1 x 8
                                                  Quadrate  Quadrate   Quadrate  Dreiecke  Seiten
                                                        8   +   2 = 10  +  8  = 18  +  8  = 26
 
                                                     18 Quadrate + 8 Dreiecke = 26 Flächen
                                                    2 x 9                       9 - 1                 3 x 9 - 1
                                                                    19 - 1
                                           

 

 

                               ZAHLEN-MYTHOS DER ANTIKE


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